f(x) = x² - 3x + 2 - |x² - 5x + 4| - a

a - ? График пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

Решение:

Заметим, что x² - 5x + 4 = x² - 4x - x + 4 = x(x - 4) - (x - 4) = (x - 4)(x - 1), то есть при x ≥ 4 или x ≤ 1 под модулем стоит неотрицательное выражение, а при 1 < x < 4 под модулем отрицательное выражение.

1) при x ≥ 4 или x ≤ 1

f(x) = x² - 3x + 2 - x² + 5x - 4 - a = 2x - 2 - a.

2) при 1 < x < 4

f(x) = x² - 3x + 2 + x² - 5x + 4 - a = 2x² - 8x + 6 - a.

Построим график f(x) при a = 0 (см. рисунок), то есть для x ≥ 4 или x ≤ 1 строим f(x) = 2x - 2 (* - график прямая), а для 1 < x < 4 строим f(x) = 2x² - 8x + 6 (** - график парабола)

Для построения (*) берем точки (1; 0) и (2; 2), строим части прямой для x ∈ (-∞; 1] ∪ [4; +∞)

Для построения (**) вершина (2; -2), доп. точки - (1; 0), (4; 6), рисуем часть параболы для x ∈ (1; 4)

Данный график имеет две точки пересечения с осью абсцисс - нам это подходит, поэтому a = 0 - отправляется в ответ.

Для a > 0 график получается из построенного движением вниз на a единиц, при a <0 график получается движением вверх на a единиц.

При движении графика вниз будем получать ровно одну точку пересечения с осью абсцисс - нас это устраивает, поэтому a>0 - отправляется в ответ.

При движении графика вверх, при  -2 < a < 0 получаем три точки пересечения - в ответ не берем.

И наконец, при a = -2 две точки пересечения, а при a < -2 - одна точка пересечения - берем в ответ.

Подводим итоги:

При a ∈ (-∞; -2] ∪ [0; +∞) график f(x) пересекает ось абсцисс менее, чем в трех точках.