Выделим полные квадраты.

(х²+2*х*5+25)-25+(у²-2*8у+64))-64+4=0

(х+5)²+(у-8)²=85

путем перебора найдем. что 85 представимо в виде квадратов такой суммой квадратов целых 1)85=36+49=6²+7²

2)85=81 +4=2²+9²

тогда

1) а) (х+5)²=6², откуда х=1, или х=-11;

(у-8)²=7², откуда у=15 или у=1

либо б) (х+5)²=7², откуда х=2, или х=-12;

(у-8)²=6², откуда у=15 или у=2

пар отрицательных нет. один корень положителен. другой отрицателен.

2) а) (х+5)²=2², откуда х=-7, или х=-3;

(у-8)²=9², откуда у=17 или у=-1

либо б) (х+5)²=9², откуда х=4, или х=-14;

(у-8)²=2², откуда у=10 или у=6

Ответ х=-3; у=-1-пара целых отрицательных х и у, удовлетворяющих  уравнению